映射

概念

设 A、B 是两个非空集合,例如：

A = {1,2,3,4}
B = {2,3,4,5}

如果存在一个法则 f，使得对 A 中的每个元素 a，按照法则 f，在 B 中有唯一确定的元素 b 与之对应，那么称 f 为 A 到 B 到映射，记为 f：A -> B

像

b 为元素 a 在映射下的像，记为 b=f(a)

原像

a 称为元素 b 在映射 f 下的一个原像

定义域

A 称为映射 f 下的定义域，记做 D​f​​

值域

A 中所有元素的像所组成的集合称为映射 f 的值域，记为 R​f​​

公式

R​f​​=f(A)={f(a)∣a∈A}

映射三要素

定义域
值域
对应法则

定义域： D​f​​ = A

值域： R​f​​∈B, 注意，值域是 B 的子集，值域不等于 B

TIP

注意：

对于每一个 $a\in A$, 元素 a 的像 b 是唯一的

对于每一个 b∈R​f​​, 元素 b 的原像不一定是唯一的

满射

设 f 是集合 A 到 B 的映射，满足 R​f​​=B

单射

对于 A 中的任意两个不同的元素，满足下面的关系，就叫做单射

TIP

若 $a1\ne a2$ ，则 $f(a1)\ne f(a2)$

一一映射，双射

f 映射，即满足单射条件，又满足满射条件，叫做一一映射或者双射，举个例子：

集合A： 一个班的学生，这些学生没有亲兄弟关系
集合B： 一个班学生的父亲
映射关系f： 学生的父亲

以上就是一一映射，一个学生只有一个父亲

逆映射

设 f 是 A 到 B 的双射，定义一个从 B 到 A 的新映射 g，记做 g:B -> A

对于每个 $b\in B$， 规定，g(b) = a，这里的 a 满足 f(a) = b

g 称为 f 的逆映射

集合元素个数

如果存在一种映射关系，使 A、B 两个集合一一映射，则称 A、B 元素个数相同

问题：自然数多还是偶数多？

自然数集合 A = {1,2,3,4,5,6,7,8...}
偶数集合 B = {2,4,6,8,10,12,14,16...}

映射关系 f(x)=2x 满足 A -> B 一一映射，那么 A、B 元素多个数相同

启发：

TIP

无穷和有穷存在巨大差别，不能以有穷的思维去看无穷的问题

有穷是具体的，无穷是抽象的

具体与抽象，在方法论上有差别，不能用有穷的方法去研究无穷的问题，微积分就是研究无穷的工具